Persamaan Garis Lurus
1.
Gradien
Gradien garis lurusadalah gradien garis lurus atau koefisien garis
adalah ukuran kemiringan suatu garis
terhadap sumbu x positif.
Gradien garis lurus umumnya dinyatakan
dengan : m
Perhatikan gambar
m₁ > m₂ ; kemiringan garis 2 terhadap sumbu x >
kemiringan garis 1 ,artinya garis 2 lebih dekat ke sumbu y dari pada garis 1
- Gradien (m) disebut
juga kemiringan garis.
- Bentuk umum
persamaan garis lurus y = mx+c , dg m(gradien)
- Sedangkan pada
persamaan garis : ax+by+c = 0 maka gradiennya :
by = -ax – c
y = -a/bx – c/b
contoh soal : tentukan
gradien persamaan garis 2x+4y+5 = 0
4y = -2x-5
y = -2/4 x - 5/4
maka m = -2/4 =
-1/2
cara cepat = -a/b =
-2/4
Macam-macam gradien :
a) Gradien bernilai
positif
Bila m (+)
contoh : 6x - 2 y – 9 = 0
m = - (6/-2) = 3
(positif)
b) Gradien bernilai
negative
Bila m (-) Contoh : 6x
+ 3y – 9 = 0
m = - (6/3) = -2
(negative)
c) Gradien garis
melalui pangkal koordinat
Garis l melalui
pangkal koordinat (0,0) maka : m = y/x
contoh : Gradient
Garis yang melalui titik (0,0) dan (2,-3) adalah :
m = y/x = -3/2
d) Gradien garis
melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)
sebuah garis lurus
dapat diperoleh dengan cara menguhubungkan dua titik sembarang misal titik P (x1
y1) dan Q (x2 Y2) , Gradien garis PQ = m = delta y / delta x =
(y2-y1)/(x2-x1)
contoh : Gradien
melalui titik (-4,5) dan (2,-3)
m = (y2-y1)/(x2-x1) =
(-3-5)/(2+4) = -8/6 = -4/3
Hubungan 2 garis lurus
:
Bila diketahui garis k
: y = m1 x + c dan garis l : y = m2 x + d maka berlaku gradien :
1) m1 = m2 jika garis
k sejajar garis l
contoh : gradien
sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y = 8
a = 3 , b = 6
m = -a/b = -3/6 = -1/2
dua garis yg sejajar : m1=m2 , maka m2 = -1/2
2) m1 . m2 = -1 jika garis
k tegak lurus
garis l contoh :
gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8
a = 3 , b = 6 m = -a/b
= -3/6 = -1/2 dua garis yg tegak lurus : m1 . m2 = -1 , maka m2 = 2
2. Persamaan Garis
Lurus
a) Garis dengan
gradien m dan melalui 1 titik
Persamaan garis dengan
gradien m dan melalui sebuah titik (x1,y1), adalah :
y - y1 = m (x - x1)
Contoh 1 :
Tentukanlah persamaan
garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.
jawab :
Titik A(-3,4), berarti
x1 = -3 , y1 = 4 dan bergradien -2, berarti m = -2
Persamaan garis dengan
gradient m dan melalui sebuah titik (x1,y1) adalah :
y - y1 = m ( x - x1 )
y - 4 = -2 {x - (-3)}
y - 4 = -2 (x + 3 )
y - 4 = -2 x - 6
y = -2x - 6 + 4
y = -2x - 2
Contoh 2 :
Tentukanlah persamaan
garis melalui titik B(6,2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2,-5)
dan Q(-6, 3)
jawab :
Garis yang melalui
titik P(2,-5) dan (-6, 3)
P(2,-5) berarti x1 = 2
, y1 = -5
Q(-6,3) berarti x2 =
-6 , y2 = 3
Gradien yang melaui
titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalah
m (PQ) Misal mPQ =
(y2-y1)/(x2-x1) = (3+5)/(-6-2) = 8/-8 = -1 maka m1 = m2 = -1 ( dua garis
sejajar )
Titik B(6, 2), berarti
x1 = 6 , y1 = 2
Persamaan garis dengan
gradien -1 dan melalui titik (6, 2) adalah :
y - y1 = m ( x - x1 )
y - 2 = -1 (x - 6)
y - 2 = -x + 6
y = -x + 6 + 2
y = -x + 8
b) Persamaan garis
yang melalui dua titik
Gradien garis yang
melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu :
dengan menggunakan
rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1 , y1),
yaitu y - y1 = m ( x -
x1 ) dapat diperoleh rumus berikut :
y - y1 = m ( x - x1 )
y - y1 =
[(y2-y1)/(x2-x1)] (x - x1)
(y - y1)/(y2-y1) =
(x-x1)/(x2-x1)
Kesimpulan :
Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2)
yaitu : (y - y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)
contoh :
Tentukan persamaan
garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8)
jawab : Garis l
melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8).
A(3,4) berarti x1 = 3
, y1 = 4
B(5,8) berarti x2 = 5
, y2 = 8
Persamaan garis yang
melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah :
(y - y1)/(y2-y1) =
(x-x1)/(x2-x1)
(y-4) / (8-4) = (x-3)
/ (5-3)
(y-4) / 4 = (x-3) / 2
2(y - 4) = 4(x - 3)
2y - 8 = 4x - 12
2y - 4x = 8 - 12
2y - 4x = -4
y - 2x = -2
>> Hubungan 2
garis lurus
1) Persamaan garis
yang saling sejajar
Contoh :
Tentukan persamaan
garis yang melalui titik (2,3) dan sejajar dengan garis y = 2x - 5
jawab : y = 2x -
5 maka m = 2 m1 = m2 = 2 (karna sejajar)
maka :
y - y1 = m (x-x1)
y - 3 = 2 (x-2)
y = 2x-4+3
y = 2x -1
2) Persamaan garis
yang tegak lurus
Contoh :
Tentukan persamaan
garis yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus dengan garis y=2x-5
jawab : y = 2x -
5 maka m = 2 , karna tegak lurus : m1.m2 = -1 m2 = -1/2
maka persamaan
garisnya :
y - y1 = m (x-x1)
y - 3 = -1/2 (x-2)
y = -1/2 x + 1 + 3
y = -1/2 x + 4
kali 2
2y = -x + 4
2y + x - 4 = 0
3) Persamaan garis
yang berhimpit
garis-garis dengan
persamaan y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 berimpit, jika dan hanya jika m1 = m2
dan c1 = c2 dan secara umum garis dengan persamaan ax+by+c = 0 akan berhimpit
dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing" merupakan kelipatan dari a,
b, c..
4) Persamaan garis
yang berpotongan
dua garis akan
berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien dari x , y,
dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta
persamaan garis lainnya.
